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第十六章 随机的美学（第2页）

极端斯坦与平均斯坦的视觉方法

此刻，我正盯着我书房里的地毯。如果使用显微镜，我将看到非常粗糙的纹理。如果使用放大镜，纹理会平滑一些，不过仍然很粗糙。但我站着看时，它是平整的，就像一张纸一样光滑。肉眼看到的地毯与平均斯坦和大数定理对应：我看到的是波动的加总，而这些波动是互相抵消的。这就像高斯随机分布：我的咖啡杯不会跳起来的原因在于所有运动粒子相互抵消了。同样，把小的高斯不确定性加起来就得到确定性：这就是大数定理。

高斯随机分布不是自相似的，所以我的咖啡杯不会从桌上跳起来。

现在，想一想爬山。不论你爬到多高的高度，地球表面都是崎岖不平的，即使到达3万英尺的高度还是一样。当你飞越阿尔卑斯山时，你会看到起伏的山峰而不是小石头。所以有些地表不属于平均斯坦，改变分辨率不会使它们看起来更平滑。（请注意，只有当你到达非常高的高度才会看到平滑的效果。我们的地球表面对太空中的观察者来说是平滑的，但这是因为它看上去太小了。假如从更大的行星观察，那上面有让喜马拉雅山相形见绌的山峰，那么观察者必须站在更高更远之处，才会觉得山峰看起来平滑。同样，如果地球拥有更多人口，但平均财富不变，很可能某个人的净资产将大大超过比尔·盖茨。）

图16-1和图16-2演示了如上情形：看图16-1的人会以为图上是一个掉在地上的镜头盖。

回想一下英国海岸线。如果从飞机上看，它的轮廓不会与你在海边看到的有很大差别。尺度的改变并没有改变形状或者平滑度。

图16-1看上去，一个镜头盖掉在了地上

图16-2图上物体实际并不是镜头盖

注：这两张照片演示了尺度不变性：地表是分形的。把它与人造物相比较，比如汽车或房子，能很容易看清这一点。

资料来源：斯蒂芬·W.惠特克罗夫特教授，内华达大学，里诺市。

明珠暗投

分形几何学与财富分配、城市规模、金融市场收益、战争死亡率或行星大小有什么关系呢？下面让我们把点连成线。

这里的关键是分形的数字或统计方法（在某种程度上）对不同的尺度都适用，比率是不变的，这点与高斯分布不同。图16-3演示了另一种自相似关系。我们在第十五章看到，巨富与一般富人是相似的，前者只是更富而已。财富是独立于尺度的，或者更精确地说，财富对尺度的依赖性是未知的。

图16-3纯粹的分形统计

注：图中全部16个小部分的不均等性是相同的。在高斯世界，当你从更高的角度看时，财富（或任何其他变量）的不均等会下降，亿万富翁之间的均等性高于百万富翁，百万富翁之间的均等性高于中产阶级。简而言之，这种不同财富水平之间的不均等性是一种统计自相似。

20世纪60年代，曼德尔布罗特向经济学界提出了关于商品和金融证券价格的观点，所有的金融经济学家都无比兴奋。1963年，时任芝加哥商学院院长的乔治·舒尔茨邀请他担任教授。乔治·舒尔茨后来成为罗纳德·里根政府的国务卿。

舒尔茨一天晚上又打电话来取消了邀请。

在我写这本书时，已经过了44年，经济学和社会科学统计学领域没有发生什么大事，只有一些微不足道的粉饰文章宣传世界只受温和随机性影响，但诺贝尔奖照发不误。一些不懂曼德尔布罗特中心思想的人写了一些文章“证明”曼德尔布罗特的错误，你总是可以找到“确证”相关过程为高斯随机过程的数据，因为总有不发生稀有事件的时期，就像你总能找到一个谁也没有杀谁的下午以“证明”人们的无辜。我要重申，由于归纳的非对称性，就像人们更容易否定无罪而不是承认无罪一样，人们更容易抛弃钟形曲线而不是接受它；反过来，人们更难以抛弃分形理论而不是接受它。为什么？因为一个事件就能否定高斯钟形曲线的论断。

简而言之，40年前，曼德尔布罗特把珍珠交给经济学家和喜欢造简历的市侩，却被他们抛弃了，因为这些观点好得让他们无法接受。这真可谓明珠暗投。

在本章余下的部分，我将解释为什么我能用曼德尔布罗特分形理论描述大量的随机性，却不必接受它的精确应用。分形能够充当默认环境、粗略估计和框架。它不能解决黑天鹅问题，也不能把所有的黑天鹅现象变为可预测事件，但它极大地淡化了黑天鹅问题，因为它使这些大事件更易于理解。（分形理论把它们变成灰色。为什么是灰色？因为只有高斯现象能给你确定性。之后我会更详细地解释这一点。）

分形随机性（警告）注释标题非专业读者可以跳过此节直到本章末。

我在第十五章的财富数据表中已经演示了分形分布：如果财富从100万翻倍变为200万，至少拥有这一财富的人数就减为14，是2的指数倍。如果指数是1，那么至少拥有这一财富的人数会将减为12。指数被称为“幂”（所以有“幂律”这一术语）。我们把某事件高于某一水平的发生次数称为“超过数”，200万的超过数是财富超过200万的人数。分形分布的一个特点（另一个特点是突破性）是两个超过数的比率等于两个相应水平的比率的负幂指数次方。我们来演示这一点。假设你“认为”每年只有96种书能够卖出超过25万册（去年的实际情况就是如此），并且你“认为”指数大约为1.5。你可以推测大约34种书能够卖出超过50万册：用96乘以（500000250000）。我们可以继续计算，大约8种书能够卖出超过100万册，也就是96乘以（1000000250000）。

表16-1不同现象的假设指数

资料来源：M.E.J.纽曼

我们来看看观察不同现象得到的指数。

我要先说明这些指数没有很高的精确度。一会儿我们就会知道原因，但现在，让我们暂时记住我们并不是观测这些参数，而只是猜测，或者为了统计的目的推测。有时我们很难知道真正的参数，假如它真的存在的话。我们先来看看指数的实际影响。

表16-2显示了发生概率极低的事件的影响。它列出了样本中最高的1%和20%的观测值对整体的贡献。指数越小，它们的贡献越大。但看看这个过程有多么敏感：在1.1到1.3之间，贡献率能够从66%下降到34%。指数变化0.2能使结果产生巨大的变化，而一个简单的计算错误就能产生这样的差异。这个差异绝不是微不足道的：想一想，我们根本不知道精确的指数是什么，因为我们无法直接计算它。我们能做的只是从历史数据中估计它，或者依赖能让我们有点概念的模型理论，但这些模型可能有潜在缺陷，使我们无法盲目地将它们应用于现实。

表16-2指数的意义

注：显然，有限样本不可能出现100%的情况。

所以请记住，1.5的指数只是近似，它本身是很难计算的，它不是天上掉下来的，至少来之不易，而且计算时很可能存在巨大的样本误差。你会发现销售超过100万册的图书并不一定是8种，可能是20种，也可能是2种。

更重要的是，指数从某个“临界值”开始起作用，对大于这个临界值的数产生影响。它可能从20万册书开始，也可能从40万册开始。同样，财富在比如6亿美元以上时开始出现不均衡的加剧，而在低于这个数字时呈现不同的特征。你怎么知道临界值在哪里？这是一个问题。我跟我的同事分析了大约2000万条金融数据。我们都有同样的数据集，但我们从来没能在指数上达成一致。我们知道这些数据符合分形幂律，但明白不可能得出精确的数字。不过知道分布是具有突破性的而且是分形的，对于我们做决策已足够了。

上限问题

有些人做过研究，并认同分形有“某个上限”。他们认为，财富、图书销量和市场回报率都存在一个临界点，超过这个点后它们不再是分形的。他们提出了“截面”的说法。我同意，可能存在一个分形终止的点，但它在哪里呢？在实践中，说存在一个上限但我不知道它在哪里，与说没有上限是同一回事。提出任何上限都极有可能是错的。你可以说，我们把1500亿美元作为分析的上限吧。然后另一个人说，为什么不是1510亿美元？

或者，为什么不是1520亿美元？所以我们把变量当作无上限也是一样。

当心精确的东西