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第十五章 钟形曲线智力大骗（第3页）

小草与大树

我将在此总结并重申本书此前提出的观点。由于钟形曲线的不确定性计量方法忽视了跳跃性或者不连续变化发生的可能性及影响，因此无法适用于极端斯坦。使用它们，就好像只看见小草，而看不见参天大树。虽然发生不可预测的大离差的可能性很小，但我们不能把它们当作意外而置之不理，因为它们的累积影响非常强大。

传统的高斯方法只关注平均水平，把意外当作附属问题。我们还有另一种方法，它把意外当作起点，把平均水平当作附属问题。

我已经强调过，有两种不同的随机性，它们具有本质的不同，就像空气与水。一种不关心极端情况，另一种受到极端情况的严重影响；一种不会产生黑天鹅，另一种会。我们不能使用同一种方法讨论气体和液体。即使能，我们也不能把这种方法称为“近似”。一种气体不可能与一种液体“近似”。

处理最大值不会与平均值相差太大的变量时，高斯方法对我们很有用。如果数量受到向下的拉力，或者如果存在物理上限，使得非常大的数值不会出现，那么我们在平均斯坦。如果存在强大的均衡力量，当情况偏离均衡时会迅速校正，你也可以使用高斯方法。否则，请忘记它。这就是为什么大量经济学研究以均衡概念为基础：别的好处不说，它起码使你能够把经济现象当作高斯变量处理。

请注意，我并不是在告诉你平均斯坦的随机性不会产生某种极端情况，而是说它们很少发生，加起来也不会有重大影响。这些极端情况的影响小得可怜，而且随着总体的增大而下降。

更专业的说法是，如果存在巨人和侏儒，二者之间的差异达到几个数量级，你仍然可能处于平均斯坦。为什么？假设你以1000个人为样本，其中既包含侏儒也包含巨人。你可能会在样本中看到许多巨人，而不是极少数巨人。你的平均值不会受到额外增加的一个巨人的影响，因为你预期到巨人是样本的一部分，所以你的平均值会比较大。也就是说，最大观测值不会偏离平均值太远。平均值总会涵盖两类人——巨人与侏儒，所以两者都不会太罕见，你只有在极少数情况下才会遇到超级巨人或超小侏儒，这种情况是一个偏离单位较大的平均斯坦。

请再次注意如下原则：事件越稀有，我们对其概率估计的错误越大，即使使用高斯方法。

让我为你展示高斯钟形曲线是如何把随机性从生活中抹去的，这正是它流行的原因。我们喜欢它，因为它带来了确定性！怎么做到的呢？通过平均化，我将在下面讨论。

咖啡杯会跳起来吗

第三章对平均斯坦的讨论中提到，个体不可能对总体产生影响。随着总体规模的增加，这一特点越来越强。平均值会越来越稳定，所有样本都是相似的。

我一生中喝过许多杯咖啡（它是我最上瘾的东西）。我从未遇到杯子从桌上跳起两英尺的情况，咖啡也从来没有自动从杯子里流到这份书稿上。要想发生这类情况，需要的可不仅仅是对咖啡上瘾。它可能需要超过人们想象的时间才会发生，概率太小了，是1后面加上许多零分之一，我用全部的业余时间可能都写不完这个数字。

但从物理上讲，我的咖啡杯是可能跳跃的，这是非常低的可能性，但仍是可能的。粒子一直在跳跃。但为什么由跳跃的粒子组成的咖啡杯本身不跳呢？原因很简单，要让杯子跳起来，所有粒子必须向同一个方向跳跃，并且连续这样同步跳几次（同时导致桌子向相反方向移动）。我的咖啡杯的数万亿粒子不可能同时向一个方向跳；在宇宙的整个历史中这种情况也不会发生一次。所以我可以安全地把咖啡杯放在写字台的边缘，去操心更严重的不确定性来源。

安全的咖啡杯演示了高斯变量的随机性是可以通过平均来消除的。如果我的咖啡杯是一个大粒子，或者能够表现为一个大粒子，那么它的跳跃就是一个问题。但我的杯子是由数万亿非常小的粒子组成的整体。

图15-2大数定理的原理

注：在平均斯坦，随着样本规模的增大，被观测到的平均值越来越稳定，在图中可以看到，曲线越来越窄。这就是一切统计理论的工作原理（或者所谓的工作原理）。平均斯坦的不确定性在平均化之下消失了。这就是人们常说的“大数定理”。

赌场经营者非常明白这一点，这就是他们从不亏本的原因（如果经营得当的话）。他们不让赌徒下大注，而喜欢让许多赌徒下很多受限制的小注。赌徒的总赌注可能有2000万美元，但你不需要为赌场担心：每注平均可能只有20美元；赌场对最大赌注设了上限，赌场老板因此晚上可以安心睡觉。所以赌场收入的变化会小到可笑的地步，不管总赌注有多大。你永远不会看到谁带着10亿美元离开赌场，在宇宙的整个历史中都看不到。

上面的例子就是平均斯坦最高法则的应用：当你有大量赌徒时，单个赌徒对总体只可能造成微小的影响。

其结果就是，对高斯变量平均值的偏离，或者说“误差”，不会造成麻烦。它们很小，可以忽略。它们只会在平均值附近引起温和的波动。

爱上确定性

如果你在大学上过（无聊的）统计课，不明白教授为什么兴奋，不知道“标准差”是什么意思，不要担心。标准差的概念在平均斯坦以外毫无意义。假如你上过审美神经生物学或者殖民地时期之后的非洲舞蹈课程，这显然对你更有好处，也更具娱乐性。从经验主义的角度，这一点很容易看出来。

高斯变量之外不存在标准差，即使存在，也无关紧要，并且说明不了什么。但事情却变得更糟了。高斯变量家族（有许多朋友和亲戚，比如泊松分布）是唯一能用标准差（以及平均值）描述的分布。你不再需要别的东西了。钟形曲线满足了那些容易上当的人对简化论的需求。

还有一些在高斯世界之外没有意义或没有重大意义的概念：相关性，以及（更糟糕的）回归。它们在我们的方法中根深蒂固，在商业谈话中不听到“相关性”这个词是很难的。

要想了解相关性在平均斯坦以外多么没有意义，只需要看一看涉及两个极端斯坦变量的历史序列，比如债券和股市，两只股票的价格，或者美国儿童图书销量变化和中国化肥产量，又或者纽约房地产价格和蒙古股市收益率。计算这些成对变量在不同子期间的相关性，比如1994年、1995年、1996年，等等。计算结果很可能表现出严重的不稳定性，它取决于计算的期间。但人们谈论相关性时仿佛它是某种真实确定的东西，人们倾向于把它实际化、具体化，并赋予它物理属性。

同样的具体性假象也会影响所谓的“标准”差。选取任何价格或价值的历史序列，将之分割为子序列，计算“标准”差。奇怪吗？每个子序列会有一个不同的“标准”差。那为什么人们还要谈标准差呢？想想吧。

请注意，正如叙述谬误一样，当你拿过去数据计算出单一的相关性或标准差时，你忽略了它们的不稳定性。

怎样制造灾难

如果你使用“统计显著性”这种说法，请小心它所带来的确定性假象。人们有可能把观测误差按照满足高斯分布的条件处理，而这要求它必须来自高斯环境，比如平均斯坦。

为了看清高斯方法的误用多么普遍以及危害多么大，请看一部由多产作家、大法官理查德·波斯纳（RichardPosner）撰写的（无聊的）书《大灾难》（Catastrophe）。波斯纳哀叹公务员对随机性的误解，建议政府的政策制定者向经济学家学习统计学。法官波斯纳看上去正在努力制造灾难。尽管属于应该多花时间读书而不是写书的人，他还是有可能成为具有洞察力的、深刻的、原创的思想家。和许多人一样，他只是不知道平均斯坦和极端斯坦的区别，他相信统计学是“科学”，而不是骗局。假如你碰到他，请告诉他真相。

凯特勒的平均怪兽

这种叫作高斯钟形曲线的怪兽并不是高斯的杰作，虽然他对此做了研究，但他是进行理论研究的数学家，而没有像那些统计科学家一样对现实的构造发表言论。G.H.哈迪（G.H.Hardy）在《数学家的歉意》一文中写道：

“真正的”数学家的“真正的”数学，比如费马（Fermat）、欧拉（Euler）、高斯、阿贝尔（Abel）和黎曼（Riemann）的数学，是完全“无用”的（“应用”数学和“纯”数学都是如此）。

我之前提到过，钟形曲线是由一个赌徒编造的，他就是亚伯拉罕·棣莫弗（AbrahamdeMoivre，1667—1754），一个法国加尔文派的避难者，他一生中大部分时间生活在伦敦，说着口音浓重的英语。但凯特勒才是思想史上最具破坏性的人，而不是高斯。

阿道夫·凯特勒（AdolpheQuételet，1796—1874）提出了体质平均人的概念。凯特勒本人一点也不平均，他是“一个极具创造激情的人，一个精力充沛、具有创造力的人”。他写诗，甚至与人合写了一部歌剧。凯特勒的根本问题在于，他是一个数学家，而不是经验主义科学家，但他不知道这一点。他在钟形曲线中发现了和谐。

问题有两个层面。首先，凯特勒有一种标准化思维，他想把世界塞入他的平均理论中，从这个意义上讲，平均对他而言是“常规”。能够不考虑非常规的、“不规范的”情况以及黑天鹅事件对总体的影响是一件不错的事，但把这个梦留给乌托邦吧。